Алгебраический метод доказательства.

Доказательство Хоукинсa. Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Теорема доказана. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например. Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

Алгебраический метод доказательства.

С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос.

По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал. Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен.

В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии. В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари. Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже.

И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b)22+4*1\2*a*b. И это дает вам право записать, что c2=(a-b)2+4*1\2*a*b. В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c2=a2+b2. В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве.

Практическое применение теоремы

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c2=a2+b2. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС2=АС2+АВ2. Конечно, этот список доказательств далеко не полный.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии.

Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате. Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц.

Из истории вопроса

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе. Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности.

Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p. Один катет представляет собой радиус b/4, другой b/2-p. Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p)2=(b/4)2+(b/2-p)2. Далее раскроем скобки и получим b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2.

И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось. Им кажется: вот-вот настанет время, И сызнова их в жертву принесут Какой-нибудь великой теореме. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору. Существует ряд обобщений данной теоремы — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется.

Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида. Большое число доказательств задействуют понятие площади. Чертёж к доказательству Евклида. Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях. В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Это доказательство было приведено Евклидом в его «Началах».

В научной литературе зафиксировано не менее 367 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Доказательство теоремы Пифагора приводится в книге «Венец астрономического учения» индийского математика XII в. Бхаскары. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств.

Еще про iPhone:

  • Интересные факты об умножении: okolostand_upИнтересные факты об умножении: okolostand_up Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. Математические знаки — т. е. знаки и сокращения, употребляющиеся в математике. Название «множитель» […]
  • Самое большое по площади озеро в миреСамое большое по площади озеро в мире И в ней находится самое глубокое озеро нашей планеты, Байкал. Максимальная глубина этого самого глубокого озера Средней Азии – 702 метров. Самое известное у нас озеро – это, конечно же, […]
  • Что такое сервитутЧто такое сервитут Договор об установлении земельного сервитута подлежит государственной регистрации в порядке, установленном для государственной регистрации прав на недвижимое имущество. Что делать, если […]
  • Двухфэтапная аутентификация(2FA)Двухфэтапная аутентификация(2FA) Если указаны верные данные, двухфакторная аутентификация будет включена. Вы можете удалить устройство из списка или добавить новое в разделе Мой счет > Настройки > Персональная информация […]