Как найти уравнения проекции прямой на плоскость?

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости. Берём направляющий вектор прямой – он же является вектором нормали плоскости. Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны.

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0.

Как Волга неизбежно впадает в Каспийское море, так и плоскость в пространстве неминуемо встречается с прямой линией. И сейчас я расскажу вам сказочку: Жили-были плоскость и прямая…. Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней: Разграничим данные случаи.

Как найти уравнения проекции прямой на плоскость?

Исследование взаимного расположения прямых в пространстве, которое проводилось на уроке Задачи с прямой в пространстве, намного трудозатратнее. Подставим координаты точки в уравнение плоскости: Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Найдём точку пересечения плоскости и прямой: . Не «Чёрный квадрат» Малевича, но тоже шедевр: Приём решения стандартен и хорошо известен из статьи Задачи с прямой в пространстве.

Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

В качестве точки, принадлежащей прямой «дэ», не возбраняется, конечно, взять найденную в предыдущем пункте точку пересечения , но в произвольной практической задаче она чаще всего не известна.

В данном случае, очевидно, точку:. Устно находим скалярное произведение нормальных векторов двух плоскостей. Оно равно нулю, значит, плоскости перпендикулярны. На втором шаге необходимо убедиться, что прямая «дэ» действительно лежит в найденной плоскости «омега». Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между своих ног. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру.

На чертеже наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Обратите внимание, что на практике для решения данной задачи, в общем-то, не надо находить именно точку пересечения (лишняя работа).

Красавица подбирается из системы (см. Примеры №№9,10 урока Уравнения прямой в пространстве). Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но, я тут прикинул, он вряд ли короче. Вопрос очевидный, но на всякий случай коснёмся обратной задачи: как составить уравнение плоскости, которая проходит через данную точку перпендикулярно данной прямой? Да, конечно, причём плоскость будет определена однозначно.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?

Решение: Задача простая, но всё равно выполним схематический чертёж: По условию требуется найти уравнение плоскости , которая проходит через прямую параллельно второй прямой. Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам.

Я перепишу условия всех десяти задач и кратко прокомментирую, как их решать. Ну что же, из 10 пробных задач не разобрана только одна (№5), да и та простая. Зрав­ству­и­те,я решил кор­ди­нат­ным ме­то­дом и по­лу­чи­лось что а у вас в от­ве­те синус кто оши­ба­ет­ся?

Чистка хвоста очевидна: координаты точки должны «подходить» и в уравнения прямой и в уравнение плоскости

В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Разборки с взаимным расположением прямой и плоскости достаточно примитивны – всего в два шага. Кроме того, на практике можно обойтись даже без всяких систем. Скрытая от вас часть пола – это и есть проекция швабры на плоскость.

Так как прямые скрещиваются, то их направляющие векторы будут не коллинеарны

Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции. Скалярное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: . Обратите внимание, что в формуле скалярное произведение находится под знаком модуля, который «съедает» возможный «минус».

Конкретный пример можно посмотреть в Пункте №12 задачи с треугольной пирамидой

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат. Точка пересечения перпендикулярной прямой и плоскости находится обычным способом (см. п. «б» предыдущего примера).

Еще про iPhone:

  • Смотреть что такое «ГЕНЕРАТИВНЫЕ ОРГАНЫ» в других словарях:Смотреть что такое «ГЕНЕРАТИВНЫЕ ОРГАНЫ» в других словарях: Генеративные органы цветковых к ним относятся цветки, плоды и семена. ГЕНЕРАТИВНЫЕ ОРГАНЫ — (от латинского genero рождаю, произвожу), органы полового размножения растений (например, […]
  • Орбита и вращение ЗемлиОрбита и вращение Земли Ниже расположен гранитный слой, состоящий из гнейсов и гранитов (скорость продольных волн в этом слое — до 6,4 км/с). Мантия — это силикатная оболочка Земли, расположенная между земной […]
  • 1.10. Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести1.10. Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести Закон всемирного тяготения применим, когда тела обладают сферической формой. Закон всемирного тяготения в данном случае будет справедлив, когда тела, во-первых, точечные. Открыл этот […]
  • Точечные светильникиТочечные светильники Точечные светильники устанавливаются в любых помещениях. Здесь можно комбинировать точечные светильники и крупные подвесные плафоны. Сюда же можно отнести и эргономичность светильников. И […]