Канонический вид уравнений второго порядка

В зависимости от значений коэффициентов графиками кривых второго порядка являются окружности, эллипсы, гиперболы и параболы. Точки и , где , называются фокусами эллипса. Следовательно, кривая не пересекает ось . При получим уравнение , корни которого . Следовательно, кривая пересекает ось в точках и . Эти точки называются вершинами гиперболы. Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости эллипс и может быть представлено в виде (2.4.3).

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Если выполняется условие D≠0,{\displaystyle D\neq 0,} то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной.

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Нецентральные кривые (D=0){\displaystyle \left(D=0\right)} имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу).

Во введенной системе координат фокусы расположены на оси и имеют координаты и . Пусть точка принадлежит эллипсу (рис.23)

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.

В этой лекции будут рассмотрены линии второго порядка

Апполоний дал и название этим кривым. Сами эти линии греки первоначально получили как сечения прямого кругового конуса плоскостями, наклоненными под разными углами к его оси, поэтому эти кривые часто называют коническими сечениями.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у =0, находим две точкиA1(a;0) иA2(–a; 0), в которых осьOxпересекает эллипс (см. рис. 2). Положив в уравнении (3)х =0, находим точки пе­ресечения эллипса с осьюОу: В1(0;b) иВ2{0;–b). 4. В уравнении (3) сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Из уравнения (5) гиперболы видно, что когда возрастает, то и воз­растает.

Так как прямые (7) и гипербола (5) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Так как для гиперболы с >а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы: > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса. Параметры а и bназываются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , , называются его вершинами. Прямые называются асимптотами гиперболы. Следующий этап упрощения заключается в параллельном переносе осей Ox’ и Oy’ до совпадения их с осями кривой, при этом начало координат совпадёт с центром (или вершиной, в случае параболы) кривой.

ЭллипсЭллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. 3) Если АС = 0 (один из членов с квадратом переменных отсутствует), то этим уравнением определяется парабола. Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можнопреобразовать способом выделения полных квадратов.

Сечением любого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишьэллипсом, гиперболой или параболой. Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка.

Если в уравнении знак , то направление ветвей совпадает с направлением оси, которой параллельна ось симметрии параболы

Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной плоскости конуса. Таким образом, эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями.

Точки называются вершинами гиперболы. Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы. Пример 2.4.4. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку , OX – ось симметрии. Так как точка принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Задача 3. Построить эллипс с уравнением и прямую, проходящую через верхнюю вершину и левый фокус эллипса.

Уравнение может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую, в данном случае мнимую окружность. Такое уравнение эллипса называется каноническим. Если в уравнении эллипса заменить на , то его вид не изменится. Это означает, что если точка принадлежит кривой, то точка также принадлежит этой кривой.

Эллипс — ограниченная кривая, которая находится внутри прямоугольника . Из явного уравнения эллипса ясно, что ордината при непрерывном возрастании на отрезке монотонно убывает. Следовательно, эллипс есть непрерывная замкнутая кривая, в первой четверти она выпукла вверх, в любой ее точке можно провести касательную. Исследование формы кривой. Из вида уравнения ясно, что гипербола симметрична относительно оси и оси . При получим уравнение , которое не имеет вещественных корней.

Следовательно, нет точек кривой, расположенных в полосе . Кроме того, из явного уравнения можно видеть, что при возрастании на полуинтервале ордината возрастает и стремится к бесконечности. Из уравнения параболы видно, что кривая симметрична относительно оси и проходит через начало координат.

Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой. Фокусы гиперболы расположены на той же оси, на которой находятся ее вершины. Директрисой параболы является прямая, перпендикулярная ее оси и находящаяся на расстоянии от вершины, причем фокус и директриса расположены по разные стороны от вершины.

Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. В противном случае (D=0{\displaystyle D=0}) все диаметры кривой либо параллельны, либо совпадают. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой этого пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Тип кривой второго порядка определяется типом квадратичной формы (1.42). Если нет точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению , то говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. При этом числа одновременно не равны нулю. Уравнение (1) называется общим уравнением кривой второго порядка.

Еще про iPhone:

  • Ассонанс — ВикипедияАссонанс — Википедия Этим и замечателен ассонанс. Поэтому иногда ассонанс определяют как повторение ударных или слабо редуцированных безударных гласных. В тех случаях, когда безударные гласные не подвергаются […]
  • Как разблокировать iPhone 4 или iPhone 5 если забыл парольКак разблокировать iPhone 4 или iPhone 5 если забыл пароль Вопрос, как разблокировать Айфон, если забыл пароль, волнует многих пользователей. Рассмотрим вопрос возможно ли разблокировать айфон 5s во всех этих случаях? После этого пароль, как и все […]
  • Тихий океан самый глубокий и тёплыйТихий океан самый глубокий и тёплый Средняя температура воды на поверхности Тихого океана на 2° выше, чем на поверхностях Индийского и Атлантического океанов. Тихий океан в два раза больше Атлантического. Морские путешествия […]
  • Великое Запределье Солнечной системыВеликое Запределье Солнечной системы Kepler-10b. Самая маленькая планета. Epsilon Eridani b - ближайшая к нам планета. На 30 ноября 2016 года достоверно подтверждено существование 3544 экзопланет в 2659 планетных системах, из […]