Познавательные статьи и необычные фотографии

Рассмотрим построение магического квадрата 9-ого порядка методом Москопула. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. В заключение несколько пояснений по поводу методов построения магических квадратов чётно-нечётного порядка. Сначала построим 1-ый магический квадрат нечётного порядка m=7. Выберем для этого метод террас. Таким образом, менее чем за минуту по этой программе строится магический квадрат шестого порядка.

Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1{\displaystyle 1} до n2{\displaystyle n^{2}}. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2+1{\displaystyle n^{2}+1}.

Надо только поменять местами три пары чисел: 2-29, 5-32, 4-31. На рис. 2 вы видите готовый магический квадрат шестого порядка

В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный.

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов

Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4×4) — квадрат Джонсона. Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует.

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный. В данном случае нужно сложить n2 и получившееся отрицательное число. Однако следует заметить, что получившийся квадрат будет полумагическим. С него и начну излагать свой метод построения.

Помещаю программу для построения всех 880 магических квадратов четвёртого порядка

Оказывается, мы получили почти готовый магический квадрат шестого порядка. Как известно, существует 8 магических квадратов третьего порядка, получающихся друг из друга поворотами и отражениями. Теперь переходим к квадрату следующего чётно-нечётного порядка, десятого. Будем действовать аналогичным образом: разобьём исходный квадрат на четыре квадрата 5х5 и в каждом таком квадрате построим магический квадрат пятого порядка.

Поскольку магических квадратов пятого порядка существует очень много (несколько миллионов), то и магических квадратов десятого порядка таким методом мы можем построить огромное количество. Константы вычисляются по известной формуле для константы магического квадрата, которая представляет собой не что иное, как формулу для суммы n членов арифметической прогрессии.

Докажем, наконец, что суммы чисел по горизонталям и диагоналям исходного квадрата можно выровнять (то есть привести к нужной константе), переставляя определённым образом числа в столбцах. Точно на такую же величину мы уменьшим сумму в каждой строке нижней половины исходного квадрата, и она тоже сделается равной константе квадрата.

Преобразовав это выражение, вы увидите, что оно тождественно равно 2m3, то есть как раз той величине, которая составляла разницу прежней диагональной суммы и константы квадрата. Точно на такую же величину уменьшится сумма по другой диагонали квадрата и тоже станет равной константе квадрата. 2-ой квадрат (и все следующие) – нетрадиционный магический.

Число переставляемых столбцов равно (m –3) = 4, по два с каждой стороны средней линии исходного квадрата. Я придумала метод четырёх квадратов, который здесь изложен, в 1993 году, когда писала книгу “Компьютер решает головоломки”. В этой книге есть глава, посвящённая магическим квадратам, а в Приложении рассказывается и о некоторых методах построения магических квадратов.

Поэтому мне и пришлось придумать свой метод для построения таких квадратов, чтобы теория построения магических квадратов была полной. Потом мне пришло письмо от Георгия Александрова, который тоже занимается магическими квадратами. В свою очередь заинтересовался моим методом. Замечу, что в моей книге много внимания уделяется вопросу построения магических квадратов с помощью компьютера. Составлено несколько программ на языке BASIC. С помощью компьютера я построила, например, все 880 магических квадратов четвёртого порядка.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Пусть нам надо построить магический квадрат порядка n, n – число чётное, но не кратно 4. Представим n в виде 2*m, где m будет числом нечётным.

Еще про iPhone: