Таблица и правила нахождения первообразных

Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. Первообразная и неопределенный интеграл-3. Первообразные таких функций давно посчитаны и сведены в специальные таблицы.

Свойства неопределенного интеграла позволяют по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Напомним таблицу производных, запишем ее еще в виде дифференциалов. Формулы из левого столбца таблицы называют основными первообразными.

Их можно проверить дифференцированием. Обычно, подынтегральное выражение сначала требуется слегка преобразовать, чтобы можно было использовать таблицу основных интегралов и свойства интегралов.

Однако, далеко не всегда можно преобразовать подынтегральную функцию, чтобы использовать таблицу первообразных. Для их нахождения применяются специальные методы. Но об этом в следующем разделе: основные методы интегрирования. В дифференциальном исчислении мы нашли производные основных элементарных функций (см. гл. VI), установили правила дифференцирования суммы, произведения, частного, а также сложной функции. Эти правила позволили нам определять производные любых элементарных функций.

Для облегчения интегрирования составляется таблица так называемых основных интегралов. Эта таблица получается из основных формул дифференциального исчисления. Вывод этих формул сводится к проверке того, «то дифференциал правой части равен подынтегральному выражению в левой части равенства, и не представляет труда для всех формул, за исключением второй. Вычислить неопределённый интеграл означает восстановить функцию по известной производной этой функции.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое.

Таблица и правила нахождения первообразных

Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от ex2{\displaystyle e^{x^{2}}} не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.

Таблица первообразных.

Научиться интегрированию не сложно. В этом, собственно, и состоит умение интегрировать. Предполагается, что к моменту чтения этой статьи читатель уже обладает некими навыками дифференцирования (т.е. нахождения производных). Определение 1.1: Функция называется первообразной функции если выполняется равенство:Комментарии:> Ударение в слове “первообразная” можно ставить двумя способами: первообразная или первообразная.

Подведем итог. Запишем начало и конец цепочки равенств: Таким образом, производная функции равна , а значит, по определению, является её первообразной. Комментарии: Ключевые слова в этом определении – “все множество”. Вывод: Для того, чтобы проверить правильно ли вычислен интеграл, необходимо найти от результата производную.

Пример: Задание: Вычислить неопределенный интеграл и выполнить проверку. То, как вычислен этот интеграл, в данном случае не имеет никакого значения. Предположим, что это откровение свыше. Наша задача – показать, что откровение нас не обмануло, а сделать это можно с помощью проверки.

Для интегрирования не нужно каждый раз вспоминать функцию, производная которой равна данной подынтегральной функции (т.е. использовать непосредственно определение интеграла). В каждом сборнике задач или учебнике по математическому анализу приведена список свойств интегралов и таблица простейших интегралов.

Ниже находится список больше всего встречающихся первообразных. C» – произвольная константа интегрирования, которая определяется, если известно значение интеграла в какой-либо точке. Каждая функция имеет бесконечное число первообразных.

1. Понятие первообразной функции.

На этой странице собраны таблицы интегралов от тригонометрических, рациональных, иррациональных и трансцендентных функций, которые помогут в решении. Если вам не совсем понятна данная тема, посмотрите видео, в котором всё подробно объясняется.

Применяя основные методы интегрирования, такие как подведения функции под знак дифференциала, замена переменной, или интегрирование по частям вы сможете свести ваш интеграл к табличному. С — произвольная постоянная.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке,числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении. Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными.

Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима. В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными.

Еще вам поможет таблица производных. Большинство интегралов, с которыми встречаются школьники и студенты, сводятся к основным интегралам. Вот так все просто. Теорема 8.1. Если — любые первообразные для функции на интервале то всюду на этом интервале где С — некоторая постоянная. Интегрирование — это одна из основных операций в матанализе.

Еще про iPhone: